有限單元法 | 安維士

2019-11-19 來源：南京安維士作者：南京安維士 瀏覽數(shù)：5185

有限元法簡單地說，就是將離散的有限個單元來代替整體的結(jié)構(gòu)，單元的特性由有限個結(jié)點(diǎn)上的未知參數(shù)來表征，從而實(shí)現(xiàn)整體分析部分化、單元化。使用合適的方式，組合包含未知參數(shù)的代數(shù)方程，這些方程包含各個單元的關(guān)系式子組成，利用插值函數(shù)，通過所構(gòu)建的平衡方程組求得節(jié)點(diǎn)未知參數(shù)，求得插值函數(shù)的近似解。以一個單向受拉桿為例，來介紹有限元的計(jì)算思想。

 　　有限元法簡單地說，就是將離散的有限個單元來代替整體的結(jié)構(gòu)，單元的特性由有限個結(jié)點(diǎn)上的未知參數(shù)來表征，從而實(shí)現(xiàn)整體分析部分化、單元化。使用合適的方式，組合包含未知參數(shù)的代數(shù)方程，這些方程包含各個單元的關(guān)系式子組成，利用插值函數(shù)，通過所構(gòu)建的平衡方程組求得節(jié)點(diǎn)未知參數(shù)，求得插值函數(shù)的近似解。以一個單向受拉桿為例，來介紹有限元的計(jì)算思想。

 

　　如圖1所示，拉桿一端固定，另一端受外力P=10kN，拉桿長度L=400mm，橫截面積A=100mm2，材料為Q235，，計(jì)算軸向變形。

 

圖1

 

　　根據(jù)材料力學(xué)胡克定律：

 

　　即得圖1拉桿右端的位移。將公式1進(jìn)行簡單的移項(xiàng)可改寫為公式2

 

　　EA/L項(xiàng)即為單元剛度k。

 

　　下面開始推導(dǎo)有限元一維桿單元線性靜力學(xué)典型方程，將圖1軸向受拉桿劃分成一個桿單元，一個桿單元分左右i、j兩個節(jié)點(diǎn)，每個節(jié)點(diǎn)有一個自由度，即沿X方向的平動自由度。

 

圖2

 

　　由圖2可知，桿左右兩側(cè)均受拉力作用，左側(cè)Pi和右側(cè)Pj的內(nèi)力由公式2推導(dǎo)如下：

 

　　將公式（3）寫成矩陣形式

 

　　在公式4中有ui和uj兩個未知量，若1個節(jié)點(diǎn)有1個廣義未知量，1個一維桿單元包含兩個節(jié)點(diǎn)，則1個單元共有兩個廣義位移未知量，最終構(gòu)成的矩陣為2X2的方陣。

 

　　公式4可簡寫成公式5

 

　　式中，

 

　　公式5即為有限元線性靜力學(xué)的典型方程。

 

　　公式4僅為1個單元的靜力平衡方程，若將圖1的軸向受力構(gòu)件劃分成兩個單元，則需要將兩個單元平衡方程進(jìn)行組裝。下面就以圖1的構(gòu)件為例，將其劃分成兩個單元，計(jì)算其右側(cè)的軸向位移。

 

　　單元劃分如圖3，左側(cè)定義為1號單元，右側(cè)定義為2號單元，共有 3個節(jié)點(diǎn)，3個未知位移，故最終構(gòu)成的矩陣應(yīng)該是3X3的方陣。

 

圖3

 

　　1號單元的靜力平衡方程如公式7：

 

　　在組裝矩陣之前，需要擴(kuò)充公式6和公式7，擴(kuò)充矩陣的目的是將3個節(jié)點(diǎn)的位移全部納入到總剛矩陣中便于后面矩陣疊加，擴(kuò)充后的公式6和公式7如下：

 

　　下面將擴(kuò)充后的公式6和公式7合并、組裝，如公式9：

 

　　公式9中剛度矩陣K的行列式為0，無法求解圖1中桿的位移，因此在使用有限元軟件進(jìn)行靜力學(xué)分析時(shí)，由于結(jié)構(gòu)約束不足，會給出報(bào)錯提示。

 

　　若讓式9有解，需要對式9加入邊界條件，本例的邊界條件是左側(cè)i節(jié)點(diǎn)的軸向位移為0，即是已知的，故將式9的第一行和第一列從矩陣中去除，式9變成式10，如下式：

 

　　將其它已知條件（彈性模量、桿長、桿截面積及右側(cè)集中力）帶入式10：

 

　　將公式10從矩陣形式改成線性方程組的形式：

 

　　求解公式11，得

 

　　由結(jié)果可知，有限元方法求出的基本結(jié)果是位移，應(yīng)變，應(yīng)力場是基于位移基本解迭代出來的。

 

　　作者  李文文    高級工程師

 

　　南京安維士傳動技術(shù)股份有限公司

 

　　Review

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